Las paradojas de Zenón

Zenón de Elea nació alrededor del año 490 antes de Cristo y fue un ferviente seguidor de las ideas de su maestro, Parménides. Parménides defendía que el universo (él lo llamaba el ser) era indivisible, único y continuo. Se oponía firmemente a esas ideas extrañas de los pitagóricos sobre un universo que podía dividirse en puntos y números, y Zenón siguió esta misma línea de pensamiento. Ambos defendían que las apariencias de tiempo, espacio y movimiento eran engaños a los que nos sometían nuestros sentidos. Zenón es conocido hoy en día por sus paradojas, la más conocida de las cuales es aquella en la que Aquiles se enfrenta a una tortuga en una emocionante carrera… y no gana.

 

Detengámonos a analizar el por qué de estas paradojas. Tanto Zenón como su maestro creían firmemente que a la verdad hay que llegar a través de la lógica, no de los sentidos. Nuestros sentidos nos engañan y nos hacen tener opiniones que, por definición, resultan falsas y son muy difíciles de probar o contrastar. Las paradojas de Zenón surgieron cuando se propuso demostrar, a través de la lógica, la falibilidad de nuestros sentidos. Logró demostrar que, por lógica, todo movimiento ha de ser imposible. También redujo al absurdo la idea de que el universo podía reducirse infinitamente a puntos más pequeños. Son verdades, pero tan solo si empleamos la lógica; al contrastarlas con nuestra experiencia cotidiana, demuestran una y otra vez ser erróneas. ¿O tal vez son nuestros sentidos los que, efectivamente, nos engañan? Veamos los razonamientos de Zenón.

 

Aquiles y la tortuga

 

Esta es la más conocida de las paradojas de Zenón. Imaginemos que el poderoso y veloz Aquiles se enfrenta a una pobre tortuga en una carrera. El heroico griego está tan seguro de su rapidez que permite que la tortuga parta con cierta ventaja, digamos un centenar de metros. Cuando la tortuga llega a los 100 metros, Aquiles sale tras ella veloz como una flecha.

 

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Aquiles y Ajax jugando a los dados. “Te digo que pierdes, pardillo, que me he hecho un curso de filosofía”. “Calla, mamón, que te acabas suicidando…”

 

¿Qué ocurre? Según el razonamiento de Zenón, Aquiles recorrerá muy rápidamente los cien metros que ya ha avanzado la tortuga. Pero mientras llega allí, resulta que la tortuga ya ha avanzado un poco más de distancia. Bien, tan solo es cuestión de que Aquiles recorra esta nueva (y pequeña) distancia, ¿verdad? Es cierto, pero cuando lo hace, la tortuga ya ha avanzado otro pequeño trecho, que Aquiles tendrá que recorrer otra vez, permitiendo a la tortuga que avance un poco más… y así un número infinito de veces. De esta forma, aunque la distancia entre Aquiles y la tortuga se haga cada vez más pequeña, jamás podrá reducirse a cero, ya que para ello habría que recorrer una serie infinita de distancias y resulta imposible realizar un número infinito de acciones en una vida humana. Aquiles jamás ganará la carrera.

 

¿Qué ocurre aquí? Zenón juega con el concepto de infinito. Infinitamente grande es el número de acciones que debe completar Aquiles para alcanzar al reptil, e infinitamente pequeña es la distancia que acabará separándolos… pero nunca será una distancia igual a cero. Esta paradoja se basa en que el espacio y el tiempo pueden dividirse infinitamente, y la suma de infinitas partes –aún siendo muy pequeñas- será infinita. Hoy en día sabemos, gracias al cálculo infinitesimal, que la suma de infinitos número puede dar un resultado finito. Pero el cálculo infinitesimal fue desarrollado más de dos mil años después de que muriese Zenón; en su época, ni el pensamiento ni las matemáticas habían alcanzado el desarrollo suficiente para refutar esta paradoja.

 

Imaginemos que la distancia total que debe recorrer Aquiles hasta la meta es 1. Primero debe recorrer, digamos, 1/2 del trayecto para estar donde estaba la tortuga cuando él salió. Después, 1/4 de trayecto más, la mitad que el recorrido anterior (recordemos que cada vez le separa menos distancia de la tortuga). Luego 1/8, después 1/16, etc. Las fracciones se hacen cada vez más diminutas, hasta el infinito. Hoy en día se sabe que la suma de esta sucesión de fracciones sucesivamente más pequeñas (1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …) daría como resultado 1, es decir, la distancia completa de la carrera. Aquiles, por tanto, llegaría a la meta, aunque su recorrido se componga de infinitas distancias infinitesimales.

 

Otra forma de salir del atolladero es considerar que Aquiles no avanza mediante fracciones cada vez más pequeñas, sino mediante algo medible y cuantificable: zancadas o pasos. Sabiendo la medida de sus pasos, resultará fácil calcular cuánto recorre y en qué momento alcanza a la tortuga.

 

Hay otra manera más de resolver la paradoja, y es que Aquiles no intente llegar a donde está la tortuga en un momento dado, sino a un punto determinado por delante de ella. De esta forma seguirá recorriendo fracciones del recorrido, pero el punto de llegada bien puede estar por delante de su molesta competidora y acabará superándola.

 

La paradoja de la dicotomía

 

Zenón llega más allá en su razonamiento y ahora trata de convencernos de que el movimiento, sencillamente, es imposible. Dioses, ¿es que estos griegos no tenían nada mejor que hacer?

 

Imaginemos que quiero correr de un extremo del campo de fútbol al otro (son ciento y pico metros, ¿no?). Estaremos todos de acuerdo en que para recorrer toda la distancia, primero tendré que cubrir la mitad de ella. Es decir, hasta la línea de medio campo. Por supuesto, para recorrer esta mitad, primero tendré que recorrer la mitad de la mitad. Seguro que os imagináis lo que sigue. Así es: para recorrer cualquier distancia, primero tengo que recorrer su mitad, la mitad de la mitad, la mitad de la mitad de la mitad… y así sucesivamente hasta quedar de nuevo enredado en el concepto de infinito, puesto que tendría que hacer infinitas operaciones tan solo para mover un dedo. El movimiento, por tanto, resulta imposible.

 

Por supuesto, nuestra experiencia diaria contradice todo esto. Todos nos movemos. Vamos en coche, se nos caen cosas al suelo, etcétera. Si huimos del análisis infinitesimal, podemos solucionar esta paradoja igual que la de Aquiles y la tortuga. También hay que tener en cuenta que el movimiento solo puede darse si también tenemos en cuenta el tiempo, y no si tomamos un instante concreto: una fotografía de algo que se mueve no es movimiento, ya que lo muestra en un instante determinado y no en otro. Pero si vamos uniendo varios instantes separados por un tiempo determinado, sí podemos hablar de movimiento. También sabemos, gracias a Max Planck, que hay un límite a lo pequeño que puede ser un instante. El Tiempo de Planck, que son 5.39124(27) x 10−44 segundos (para los de la LOGSE: muy, muy poco) es el tiempo más pequeño que puede medirse en el universo, da igual el reloj, cronómetro o invento que utilicemos. De modo que no existe eso de un instante infinitamente pequeño. Parece que el movimiento, después de todo, es posible…

 

¿O no?

 

La paradoja de la flecha

 

Imaginemos una flecha disparada por un arquero. La flecha ocupa un espacio en el universo y no otro, como todas las cosas. Tomemos un instante infinitamente pequeño: la flecha está quieta, suspendida en el aire, ocupando tranquilamente su porción de universo. Podríamos pensar que en el siguiente instante habrá avanzado pero, ¿cómo puede ser posible? Si logramos encontrar un instante infinitamente pequeño en el cual la flecha esté quieta, entonces también estará quieta en todos los demás instante infinitamente pequeños en los que se descompone su trayectoria. Y la suma de infinitos instantes infinitamente pequeños en los que la flecha está quieta no puede dar como resultado ningún movimiento… por lo tanto, ¡la flecha jamás podrá moverse!

 

De nuevo podemos argumentar que el movimiento debe tener en cuenta tanto la distancia recorrida como el tiempo. Por supuesto, si eliminamos el factor tiempo tendremos una realidad congelada, una foto estática del universo. Pero claro, hay sutiles indicios que parecen indicar que el tiempo sigue pasando en nuestro universo: envejecemos, la comida se pierde, la Tierra gira por el espacio y algunas cosas más. En definitiva, no puede hablarse de verdadero movimiento si solo tenemos en cuenta un instante diminuto, por ejemplo un Tiempo de Planck, que es lo más parecido a algo “infinitamente breve” que tenemos a mano.

 

No obstante, Zenón llegó a proponer una cuarta paradoja en la que demuestra que el concepto “tiempo” va en contra de nuestra intuición a la hora de percibir movimientos…

 

La paradoja de los estadios o de las filas

 

Esta es la más compleja de las paradojas de Zenón, y considero que necesita cierto apoyo gráfico para ser entendida. Afortunadamente he preparado unos dibujos verdaderamente espantosos que servirán para salir del paso. El nombre de este experimento mental se debe a que toma como ejemplo varios grupos de soldados (filas) que se mueven a lo largo de un estadio.

 

Imaginaremos la siguiente situación. En un estadio se alinean varios grupos de soldados, formados en filas. Hay una fila de soldados, que llamaré A, que permanece en formación, sin moverse. Frente a estos soldados hay otra fila compuesta por igual número de soldados, a la que llamaré B, y que trota de derecha a izquierda. Y en dirección opuesta llega corriendo la fila C, con el mismo número de soldados que las otras dos. En un momento dado del tiempo, tenemos a los soldados dispuestos así:

 

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La fila A, quieta; los B corren hacia la izquierda; y los C, hacia la derecha. Puesto que los hoplitas griegos eran tipos organizados y de gran disciplina, consiguen moverse exactamente a la misma velocidad, de forma que al momento siguiente habrán alcanzado la siguiente posición:

 

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Vemos que cada soldado ha avanzado dos “casillas”, aunque sean casillas imaginarias que hemos añadido al campo para comprender mejor el ejemplo. Todo está bien, ¿no? ¿Acaso algún maldito sofista tiene algo que añadir? Oh, no, Zenón otra vez…

 

Para Zenón, ocurre lo siguiente. Los de la fila B se movieron dos casillas respecto a la fila A, que está quieta. Los de la fila C también avanzaron dos casillas respecto a A, pero en dirección contraria. Pero, ¡alto!: resulta que C se ha desplazado el doble, cuatro casillas, respecto a B, y además en el mismo tiempo. Por lo tanto, su velocidad debería ser el doble que la de B. ¡Pero acabamos de decir que han avanzado lo mismo y, por tanto, su velocidad debe ser la misma! ¿Cómo es posible? ¡No puede ser que vayan a la misma velocidad y al doble de esa velocidad a la vez! En resumen, Zenón demuestra que, si incorporamos el factor tiempo a la hora de percibir movimientos, tenemos que acabar aceptando que un tiempo cualquiera es igual a su mitad… o que un tiempo es igual al doble del mismo… En fin, un disparate total.

 

La solución a esta enrevesada paradoja es simple, y tiene que ver con la diferencia relativa que se produce al medir la velocidad de un cuerpo desde puntos de referencia distintos. Me explico. Imaginemos que viajamos a 100 km/h en un coche. Comparados con un punto fijo de la carretera, viajamos a esa velocidad; pero si un coche se acerca en dirección contraria a 80 km/h, ambos percibiremos la velocidad del otro como si fuese de 180 km/h. ¿Cuál de las tres velocidades es más válida? En términos absolutos, un coche va a 100 y otro a 80. Pero al medir la velocidad relativa de cada uno respecto al otro, podemos afirmar que su velocidad es mayor, y estaremos igualmente en lo cierto. Pensemos que en la época en que fue formulada no se conocía nada de lo que ahora sabemos sobre sistemas de referencia. Esta idea de Zenón, que hoy parece un poco ingenua, fue en su época una auténtica revolución mental.

 

Cualquiera que haya llegado al final de esta lectura de seguido se merece por lo menos un huevo Kinder.

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